Question

圆x²+y²+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是________．

Answer 1

分析：把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由已知圆关于直线2ax-by+2=0对称，得到圆心在直线上，故把圆心坐标代入已知直线方程得到a与b的关系式，由a表示出b，设m=ab，将表示出的b代入ab中，得到m关于a的二次函数关系式，由二次函数求最大值的方法即可求出m的最大值，即为ab的最大值，即可写出ab的取值范围．
解答：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）²+（y-2）²=4，
∴圆心坐标为（-1，2），半径r=2，
根据题意可知：圆心在已知直线2ax-by+2=0上，
把圆心坐标代入直线方程得：-2a-2b+2=0，即b=1-a，
则设m=ab=a（1-a）=-a²+a，
∴当a=时，m有最大值，最大值为 ，即ab的最大值为 ，
则ab的取值范围是（-∞，]．
故答案为（-∞，]．
点评：本题以直线与圆为载体，考查对称性，考查了直线与圆相交的性质，以及二次函数的性质．根据题意得到圆心在已知直线上是解本题的关键．