Question

已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量

m

=(cosA，sinA)，

n

=(1，

3

)，若

m

⊥

n

，且acosB+bcosA=csinC，则角B=（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  3

• C、

  2π

  3

• D、

  5π

  6

Answer 1

分析：先根据

m

⊥

n

推断两向量的积为0求得tanA的值，进而其求得A，进而利用正弦定理分别表示出a和c代入题设等式中化简整理求得sinC的值，进而求得C，最后利用三角形内角和求得答案．

解答：解：∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=

3

cosA-sinA=0
∴tanA=

3

，A=60°
三角形正弦定理：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R
∴a=

bsinA

sinB

c=b

sinC

sinB

∵acosB+bcosA=csinC，
∴acosB+bcosA=csinC=

bsin 2C

sinB

∴

bsinA

sinB

cosB+bcosA=

bsin 2C

sinB

整理得sinAcosB+cosAsinB=（sinC）²
∵A+B+C=180∴A+B=180-C
∴sin（A+B）=sinC=（sinC）²
∴sinC=1
∴C=90°∴B=90°-60°=30°
故选A

点评：本题主要考查了正弦定理应用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．