题目内容
某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数P与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，40]时，曲线是函数y=logα（x-5）+83（a＞0且a≠1）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数P大于等于80时听课效果最佳．（1）试求P=f（t）的函数关系式；
（2）老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？
请说明理由．
分析：（1）先利用所给函数图象求出当t∈（0，14]时，是一段二次函数的图象，可设f（t）=c（t-12）2+82（c＜0）进行求解；当t∈（14，40]时，将已知点的坐标代入y=loga（x-5）+83，求解即得其解析式最后利用分段函数的形式写出求P=f（t）的函数关系式即可；
（2）欲知老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳，只须令p≥80，求出相应的x值即可，即老师在相应的时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳．
（2）欲知老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳，只须令p≥80，求出相应的x值即可，即老师在相应的时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳．
解答：解：（1）t∈（0，14]时，设p=f（t）=c（t-12）2+82（c＜0），
将（14，81）代入得c=-
t∈（0，14]时，p=f（t）=-
（t-12）2+82（4分）
t∈（14，40]时，将（14，81）代入y=loga（x-5）+83，得a=
（6分）
∴p=f(t)=
．（7分）
（2）t∈（0，14]时，-
（t-12）2+82≥80
解得12-2
≤t≤12+2
，
∴t∈[12-2
，14]（11分）
t∈[14，40]时，log
（t-5）+83≥80解得5＜t≤32，
∴t∈[14，32]，∴t∈[12-2
，32]，（15分）
即老师在t∈[12-2
，32]时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳．（16分）
将（14，81）代入得c=-
| 1 |
| 4 |
t∈（0，14]时，p=f（t）=-
| 1 |
| 4 |
t∈（14，40]时，将（14，81）代入y=loga（x-5）+83，得a=
| 1 |
| 3 |
∴p=f(t)=
|
（2）t∈（0，14]时，-
| 1 |
| 4 |
解得12-2
| 2 |
| 2 |
∴t∈[12-2
| 2 |
t∈[14，40]时，log
| 1 |
| 3 |
∴t∈[14，32]，∴t∈[12-2
| 2 |
即老师在t∈[12-2
| 2 |
点评：本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想，属于基础题．解决实际问题关键是建立数学模型．
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与听课时间
之间的关系满足如图所示的曲线．当
时，曲线是二次函数图象的一部分，当
式，曲线是函数
(
且
)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数
的函数关系式；
与听课时间
之间的关系满足如图所示的曲线．当
时，曲线是二次函数图象的一部分，
为其对称轴；当
时，曲线是函数
(
且
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时，曲线是二次函数图象的一部分，当
时，曲线
(
，
)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于80时学习效果最佳．
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时，曲线
(
，
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（1）试求
的函数关系式；
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时，曲线
(
，
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（1）试求
的函数关系式；