题目内容

（2011•西安模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且满足（a+b+c）（a-b+c）=3ac，a＜c．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设
a
=(sinA，cos2C)，
b
=(cosA，sinB)，且p=
a
•
b
，求p的取值范围．
分析：（I）由题意可得，a2+c2-b2=ac，结合余弦定理，cosB=
a2+c2-b2 
2ac
可求B
（II）由B=
π
3
及a＜c，可得C=
2π
3
-A＞A可求A的范围，利用向量的数量积可求
p
=
a
•
b
，利用三角函数的辅助角公式对函数进行化简，结合正弦函数的性质可求
解答：解：（I）∵（a+b+c）（a-b+c）=3ac
∴a2+c2-b2=ac（3分）
由余弦定理可得，cosB=
a2+c2-b2 
2ac
=
1
2

∵0＜B＜π
∴B=
π
3
（4分）
（II）∵B=
π
3
，a＜c
∴C=
2π
3
-A＞A
∴0＜A＜
π
3
（6分）
∵
a
=(sinA，cos2C)，
b
=(cosA，sinB)
∴
p
=
a
•
b
=sinAcosA+sinBcos2C
=
1
2
sin2A+
3
2
cos(
4π
3
-2A)
=
1
2
sin2A-
3
4
cos2A-
3
4
sin2A
=-
1
4
sin2A-
3
4
cos2A
=-
1
2
sin(2A+
π
3
)（10分）
0＜A＜
π
3

∴
π
3
＜2A+
π
3
＜π
∴0＜sin(2A+
π
3
)≤1
∴-
1
2
≤p＜0（12分）
点评：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，两角和与差的三角函数及辅助角公式的应用，正弦函数性质的应用，属于三角与向量的综合应用．
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65
65
．
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x-1
}，则M∩（?RN）=（　　）
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-
3
4
-
3
4
．
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1
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1
2
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1
2011
)+f(
2
2011
)+f(
3
2011
)+…+f(
2011
2011
)=
1508
3
1508
3
．

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