Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，数列{a_n+S_n}是公差为2的等差数列．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）证明数列{a_n-2}为等比数列；
（Ⅲ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由数列{a_n+S_n}是公差为2的等差数列，可得a_n+s_n=2n，代入求a₂，a₃
（Ⅱ）利用递推公式a_n=

sn-sn-1，n≥2 s1       n=1

代换s_n，证明

an-2

an-1-2

为一非零常数
（Ⅲ）用错位相减求数列的前n项和

解答：（Ⅰ）解：∵数列{a_n+S_n}是公差为2的等差数列，
∴（a_n+1+S_n+1）-（a_n+S_n）=2，即an+1=

an+2

2

，（3分）
∵a₁=1，∴a2=

3

2

， a3=

7

4

；（5分）
（Ⅱ）证明：由题意，得a₁-2=-1，∵

an+1-2

an-2

=

an+2 2 -2

an-2

=

1

2

，
∴{a_n-2}是首项为-1，公比为

1

2

的等比数列；（9分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得an-2=-(

1

2

)n-1，∴nan=2n-n•(

1

2

)n-1，（10分）
∴Tn=(2-1)+(4-2•

1

2

)+[6-3•(

1

2

)2]++[2n-n•(

1

2

)n-1]，
∴Tn=(2+4+6++2n)-[1+2•

1

2

+3•(

1

2

)2++n•(

1

2

)n-1]，
设An=1+2•

1

2

+3•(

1

2

)2++n•(

1

2

)n-1①
∴

1

2

An=

1

2

+2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3++n•(

1

2

)n，②
由①-②，得

1

2

An=1+

1

2

+(

1

2

)2++(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n，
∴

1

2

An=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n•(

1

2

)n，∴An=4-(n+2)•(

1

2

)n-1，
∴Tn=

n(2+2n)

2

+(n+2)•(

1

2

)n-1-4=(n+2)•(

1

2

)n-1+n(n+1)-4．（14分）

点评：本题综合考查了利用递推公式求通项、采用构造证明等比数列及运用错位相减求数列的和．熟练掌握公式，灵活转化是解题的关键，还要具备综合论证推理的能力．