题目内容
数列{an}满足an=3an-1+3n-1（n≥2）其中a3=95（1）求a1，a2的值
（2）若存在一个实数λ使得{
| an+λ | 3n |
（3）求数列{an}前n项的和Sn．
分析：（1）求a1，a2的值，由题设条件，{an}满足an=3an-1+3n-1（n≥2）其中a3=95求解即可
（2）若存在一个实数λ使得{
}为等差数列求λ的值可根据等差数列的性质建立方程求参数；
（3）求数列{an}前n项的和Sn．可以由（2）求出数列{an}的通项，再根据其形式先分组，在各组中分别用错位相减法求和，公式求和的技巧求和．
（2）若存在一个实数λ使得{
| an+λ |
| 3n |
（3）求数列{an}前n项的和Sn．可以由（2）求出数列{an}的通项，再根据其形式先分组，在各组中分别用错位相减法求和，公式求和的技巧求和．
解答：解：（1）由题设条件知a2=3a1+31-1，a3=3a2+33-1=95，解得a1=7，a2=23
（2）若存在一个实数λ使得{
}为等差数列，则有
+
=2×
，将a1=7，a2=23，a3=95代入解得λ=-5
（3）由（2）{
}为等差数列其首项为
，公差为
的等差数列，故
=
+
×(n-1)=
n-
，故an=4n×3n-1-2×3n-1+5
令An为数列{4n×3n-1}的前n项和，则Sn=An-2×（30+31+…+3n-1）+5n=An+1-3n+5n
由于An=4×（1×30+2×31+3×32+…+n×3n-1）
3An=4×（1×31+2×32+3×33+…+n×3n）
故-2An=4×（30+31+32+…+3n-1-n×3n）=4×（
×(3n-1)-n×3n）
An=2×（3n-1）+4×（n×3n）
所以Sn=2×（3n-1）+4×（n×3n）+1-3n+5n
（2）若存在一个实数λ使得{
| an+λ |
| 3n |
| a1+λ |
| 31 |
| a3+λ |
| 33 |
| a2+λ |
| 32 |
（3）由（2）{
| an-5 |
| 3n |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| an-5 |
| 3n |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
令An为数列{4n×3n-1}的前n项和，则Sn=An-2×（30+31+…+3n-1）+5n=An+1-3n+5n
由于An=4×（1×30+2×31+3×32+…+n×3n-1）
3An=4×（1×31+2×32+3×33+…+n×3n）
故-2An=4×（30+31+32+…+3n-1-n×3n）=4×（
| 1 |
| 2 |
An=2×（3n-1）+4×（n×3n）
所以Sn=2×（3n-1）+4×（n×3n）+1-3n+5n
点评：本题考点是数列的求和，考查了公式法求和以及错位相减法求和等技巧，学习时要注意积累常见的求和技巧，总结其规律．
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