Question

【题目】设函数

（1）当时，若是函数的极值点，求证：；

（2）（i）求证：当时，；

（ii）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

注：e=2.71828...为自然对数的底数.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析

（2）（i）证明见解析 （i i）

【解析】

（1）先求导，得，再令，求得，可判断单调递增恒成立，再根据零点存在定理计算两端点值，即可求证

（2）（i）要证，只需证，只需证，通过求导证明，求得，即可求证

（ii）先通过必要性进行探路，当时，一定成立，推出 ，当时，，化简得，

进一步求导得，结合（i）中放缩可得，再对和分类讨论，进而求证

解析：（1），

令

即恒增，又，，所以在上有一根，即为的极值点，且；

（2）（i）

要证，只需证，只需证，，，即在，即，所以恒成立，即在单调递增，又有，所以恒成立，即.

（i i）必要性探路：当，有，

当时，

设

（1）当时，，

所以函数

（2）当时，

所以函数

综上所述：实数的取值范围为.