题目内容
已知椭圆
C：的左右焦点为F1，F2，离心率为e，直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，且
（1）计算椭圆的离心率e
（2）若直线l向右平移一个单位后得到l′，l′被椭圆C截得的弦长为
，则求椭圆C的方程．
【答案】分析：（1）直线l方程与椭圆方程联立，求出交点M的坐标，利用
得到e值．
（2）由（1）中求得的e值，可求出直线l方程，并化简椭圆方程，使其只含一个参数，设l′方程，与椭圆方程联立，用弦长公式求出l′被椭圆C截得的弦长，令其等于
，即可得到椭圆方程．
解答：解：（1）y=ex+a，∴A（-
，0），B（0，a）
由
，∴
∴M（-c，
），由
，得
（-c+
，
）=
（
，a），即
∴e2=1-
=
，∴e=
（2）∵e=
，设椭圆的方程为3x2+4y2=3a2，l：y=
x-
+a
即
消y，得4x2+（4a-2）x+a2-4a+1=0．设l交椭圆于B（x1，y1），C（x2，y2）
∴x1+x2=-
，x1x2=
∴l=
=
=
∴a=
∴椭圆的方程为
点评：本题主要考查了利用直线与椭圆位置关系求参数的值，注意韦达定理的应用．
得到e值．（2）由（1）中求得的e值，可求出直线l方程，并化简椭圆方程，使其只含一个参数，设l′方程，与椭圆方程联立，用弦长公式求出l′被椭圆C截得的弦长，令其等于
，即可得到椭圆方程．解答：解：（1）y=ex+a，∴A（-
，0），B（0，a） 由
，∴
∴M（-c，
），由
，得 （-c+
，
）=
（
，a），即
∴e2=1-
=
，∴e=
（2）∵e=
，设椭圆的方程为3x2+4y2=3a2，l：y=
x-
+a即
消y，得4x2+（4a-2）x+a2-4a+1=0．设l交椭圆于B（x1，y1），C（x2，y2）∴x1+x2=-
，x1x2=
∴l=
=
=
∴a=
∴椭圆的方程为
点评：本题主要考查了利用直线与椭圆位置关系求参数的值，注意韦达定理的应用．
练习册系列答案
相关题目
如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率e=
，左右两个焦分别为F1、F2．过右焦点F2且与轴垂直的
=m-4，（m∈R）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上．
+
=1（a＞b＞0）的离心率e=
，左右两个焦分别为F1、F2．过右焦点F2且与轴垂直的
=m-4，（m∈R）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上．