Question

【题目】若无穷数列满足：，且对任意，(s，k，l，)都有，则称数列为“T”数列.

（1）证明：正项无穷等差数列是“T”数列；

（2）记正项等比数列的前n项之和为，若数列是“T”数列，求数列公比的取值范围；

（3）若数列是“T”数列，且数列的前n项之和满足，求证：数列是等差数列.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析.（2）.（3）答案见解析

【解析】

（1），根据题意得到，得到证明.

（2）讨论，，三种情况，时，计算，时，计算，得到答案.

（3）计算得到，根据题意得到，利用退项相减得到，得到证明.

（1），

因为正项无穷等差数列，所以，且，所以，

所以正项无穷等差数列是“T”数列.

（2）1°时成立，所以；

2°时，

因为，所以，又因为，所以，

所以，

所以，所以.

3°时，

，

因为，所以，又因为，所以，

所以

，

所以舍去，

综上：

（3），，

所以，

数列是“T”数列，故，，…，，

所以，所以，又因为，所以，

即，，相减得到，

故，相减得到，故数列是等差数列.