Question

14．设f（n）=cos（$\frac{nπ}{2}$+$\frac{π}{4}$）（n∈Z），则f（1）+f（2）+…+f（2010）=_$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先利用观察法得到函数的周期，利用函数的周期性即可求出函数值．

解答 解：当n=1时，f（1）=cos（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当n=2时，f（2）=cos（π+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当n=3时，f（3）=cos（$\frac{3π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
当n=4时，f（4）=cos（$\frac{4π}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
当n=5时，f（5）=cos（$\frac{5π}{2}$+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当n=6时，f（6）=cos（$\frac{6π}{2}$+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当n=7时，f（7）=cos（$\frac{7π}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当n=8时，f（8）=cos（$\frac{8π}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当n=9时，f（9）=cos（$\frac{9π}{2}$+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
…由以上数值出现的规律可以知道，此函数的一个周期为T=4，
利用函数的周期性，而f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，且2010=4×502+2
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）
=f（2009）+f（2010）
=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=-$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了求函数解析式及函数值，先利用观察法得到函数的周期，利用函数的周期性即可求出函数值，属于中档题．