题目内容
设函数f（x）=|x|x+bx+c，给出下列4个命题：
①b=0，c＞0时，f（x）=0只有一个实数根； ②c=0时，y=f（x）是奇函数；
③y=f（x）的图象关于点（0，c）对称； ④方程f（x）=0至多有2个实数根
其中真命题的个数是（ ）
①b=0，c＞0时，f（x）=0只有一个实数根； ②c=0时，y=f（x）是奇函数；
③y=f（x）的图象关于点（0，c）对称； ④方程f（x）=0至多有2个实数根
其中真命题的个数是（ ）
分析：本题考查的知识点是，判断命题真假，同时考查了分段函数的图象，根据函数f（x）=|x|x+bx+c的图象关于（0，c）对称，结合b、c的取值情况，对四个结论逐一判断，可以得到正确结论．
解答：解：b=0时，原函数化为f(x)=
因为c＞0，所以当x＞0时，函数顶点在x轴上方且开口向上，图象与x轴无交点，当x＜0时，图象顶点在x轴上方且开口向下，图象与x轴只有一个交点，故方程f（x）=0只有一个实数根，命题①正确．
当c=0时，数f（x）=|x|x+bx，定义域关于原点对称，f（-x）=|-x|（-x）+b（-x）=-（|x|x+bx）=-f（x），所以f（x）是奇函数，故②命题正确．
因为f（x）=|x|x+bx为奇函数，所以图象关于（0，0）对称，而f（x）=|x|x+bx+c是把f（x）=|x|x+bx向上或向下平移了|c|各单位，所以y=f（x）的图象关于点（0，c）对称，故命题③正确．
对于命题④，只需举一个反例，如b=-3，c=1方程f（x）=0就可化为x2-3x+1=0（x＞0）或-x2-3x+1=0（x＜0），求出方程有3个解，所以命题④不正确．
故选C
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当c=0时，数f（x）=|x|x+bx，定义域关于原点对称，f（-x）=|-x|（-x）+b（-x）=-（|x|x+bx）=-f（x），所以f（x）是奇函数，故②命题正确．
因为f（x）=|x|x+bx为奇函数，所以图象关于（0，0）对称，而f（x）=|x|x+bx+c是把f（x）=|x|x+bx向上或向下平移了|c|各单位，所以y=f（x）的图象关于点（0，c）对称，故命题③正确．
对于命题④，只需举一个反例，如b=-3，c=1方程f（x）=0就可化为x2-3x+1=0（x＞0）或-x2-3x+1=0（x＜0），求出方程有3个解，所以命题④不正确．
故选C
点评：把函数f（x）=|x|x+bx+c进行分段是处理该问题的关键，同时注意数形结合的解题思想．
练习册系列答案
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设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数t，使得对于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），则称f（x）为C上的t低调函数．如果定义域为[0，+∞）的函数f（x）=-|x-m2|+m2，且 f（x）为[0，+∞）上的10低调函数，那么实数m的取值范围是（ ）
| A、[-5，5] | ||||||||
B、[-
| ||||||||
C、[-
| ||||||||
D、[-
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