Question

求下列各极限：
（1）

lim

x→2

（

4

x2-4

-

1

x-2

)；
（2）

lim

x→∞

（

(x+a)(x+b)

-x）；
（3）

lim

x→0

x

|x|

；
（4）

lim

x→ π 2

cosx

cos x 2 -sin x 2

.

Answer 1

分析：（1）把

lim

x→2

（

4

x2-4

-

1

x-2

)转化成

lim

x→2

4-(x+2)

x2-4

=

lim

x→2

-1

x+2

，再进行计算．
（2）把

lim

x→∞

（

(x+a)(x+b)

-x）转化为

lim

x→∞

(a+b)x+ab

x2+(a+b)x+ab +x

，再进行计算．
（3）因为

lim

x→0+

x

|x|

≠

lim

x→0-

x

|x|

，所以

lim

x→0

x

|x|

不存在．
（4）把

lim

x→ π 2

cosx

cos x 2 -sin x 2

.转化为

lim

x→ π 2

cos

x

2

+sin

x

2

）再进行计算．

解答：解：（1）原式=

lim

x→2

4-(x+2)

x2-4

=

lim

x→2

-1

x+2

=-

1

4

．
（2）原式=

lim

x→∞

(a+b)x+ab

x2+(a+b)x+ab +x

=a+b．
（3）因为

lim

x→0+

x

|x|

=1，而=

lim

x→0-

x

|x|

=-1，

lim

x→0+

x

|x|

≠

lim

x→0-

x

|x|

，所以

lim

x→0

x

|x|

不存在．
（4）原式=

lim

x→ π 2

cos2 x 2 -sin2 x 2

cos x 2 -sin x 2

=

lim

x→ π 2

（cos

x

2

+sin

x

2

）=

2

．

点评：若f（x）在x₀处连续，则应有

lim

x→x0

f（x）=f（x₀），故求f（x）在连续点x₀处的极限时，只需求f（x₀）即可；若f（x）在x₀处不连续，可通过变形，消去x-x₀因式，转化成可直接求f（x₀）的式子．