Question

某公司在招聘员工时，要进行笔试，面试和实习三个过程．笔试设置了3个题，每一个题答对得5分，否则得0分．面试则要求应聘者回答3个问题，每一个问题答对得5分，否则得0分．并且规定在笔试中至少得到10分，才有资格参加面试，而笔试和面试得分之和至少为25分，才有实习的机会．现有甲去该公司应聘，假设甲答对笔试中的每一个题的概率为

3

4

，答对面试中的每一个问题的概率为

1

2

．
（1）求甲获得实习机会的概率；
（2）设甲在去应聘过程中的所得分数为随机变量ξ，求ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（1）由题意知甲获得实习机会需要笔试和面试得分之和至少为25分，包括两种情况：一是笔试和面试得分之和为25分；二是笔试和面试得分之和为30分，这两种情况是互斥的，做出概率．
（2）甲在去应聘过程中的所得分数为随机变量ξ，ξ的取值为0，5，10，15，20，25，30．结合变量对应的事件，用独立重复试验的公式写出它们的分布列，算出期望．

解答：解：（1）∵由题意知甲获得实习机会需要笔试和面试得分之和至少为25分，
包括两种情况：一是笔试和面试得分之和为25分；二是笔试和面试得分之和为30分，这两种情况是互斥的
笔试和面试得分之和为25分的概率为p1=

C

2 3

×(

3

4

)2×

1

4

×

C

3 3

×(

1

2

)3+

C

3 3

×(

3

4

)3×

C

2 3

×(

1

2

)2×

1

2

=

27

128

，
笔试和面试得分之和为30分的概率为p1=

C

3 3

×(

3

4

)3×

C

3 3

×(

1

2

)3=

27

512

，
∴甲获得实习机会的概率为p=p1+p2=

27

128

+

27

512

=

135

512

．
（2）ξ的取值为0，5，10，15，20，25，30．
p(ξ=0)=

C

3 3

×(

1

4

)3=

1

64

，
p(ξ=5)=

C

1 3

×

3

4

×(

1

4

)2=

9

64

，
p(ξ=10)=

C

2 3

×(

3

4

)2×

1

4

×

C

0 3

×(

1

2

)3=

27

512

，
p(ξ=15)=

C

2 3

×(

3

4

)2×

1

4

×

C

1 3

×(

1

2

)3+

C

3 3

×(

3

4

)3×

C

0 3

×(

1

2

)3=

108

512

，p(ξ=20)=

C

2 3

×(

3

4

)2×

1

4

×

C

2 3

×(

1

2

)3+

C

3 3

×(

3

4

)3×

C

1 3

×(

1

2

)3=

162

512

，
由（1）知p(ξ=25)=

108

512

，
p(ξ=30)=

27

512

．
∴Eξ=0×

1

64

+5×

9

64

+10×

27

512

+15×

108

512

+20×

162

512

+25×

108

512

+30×

27

512

=

1125

64

点评：本题是一个离散型随机变量的分布列和期望问题，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，是可以得满分的一道题目．