Question

【题目】已知椭圆的左焦点为，短轴的两个端点分别为A，B，且满足：，且椭圆经过点

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过点M的动直线(与X轴不重合)与椭圆C相交于P，Q两点，在X轴上是否存在一定点T，无论直线如何转动，点T始终在以PQ为直径的圆上？若有，求点T的坐标，若无，说明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）（2，0）

【解析】

（1）由可知，，根据椭圆过点，即可求出，由此得到椭圆的标准方程；

（2）分别讨论直线斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存在时，联立直线与椭圆方程，解出、两点坐标，利用向量垂直的条件可得点，当斜率存在时，设出直线的点斜式，与椭圆联立方程，得到关于的一元二次方程，写出根与系数的关系，代入中进行化简，即可得到答案。

(1)由可知，，又椭圆经过点，则，由于在椭圆中 ，所以， 解得=2，所求椭圆方程为

(2) 设， ，则 ，

①当直线斜率不存在时，则直线的方程为：，

联立方程 ，解得: 或，故点，；

则 ，

由于点始终在以为直径的圆上，则，解得：或，故点或；

②当直线斜率存在时，设直线的方程为：，代入椭圆方程中消去得,

由于点始终在以为直径的圆上，

，

解得： ，故点为

综上所述;当时满足条件。所以定点为。