Question

已知正方形ABCD，E，F分别是边AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图所示，记二面角A-DE-D的大小为（）．

（1）证明BF//平面ADE；

（2）若△ACD为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，证明你的结论，并求角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：E、F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点.

∴ED//FB且EB=FD

∴四边形EBFD是平行四边形

∴BF//ED

∴ED平面AED而BF平面AED

∴BF//平面AED

（Ⅱ）解法一：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，过点A用AG⊥平面BCDE垂足为G，连接GC，GD

∵△ACD为正三角形

∴AC=AD

∴GC=GD

∴G在CD的垂直平分线上。

又∵EF是CD的垂直平分线

∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上

过G作GH⊥ED，垂足为H，连接AH则AH⊥DE

∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角，即∠AHG =

设原正方形ABCD的边长为，连接AF，

在折后图的△AEF中，AF=，EF=2AE=

△AEF为直角三角形，AG?EF=AE?AF

∴AG=

在Rt△ADE中，AH?DE=AD?AE

∴AH=

∴GH=

∴

解法二：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，连结AF，在平面AEF内过点A作AG′⊥EF，垂足为G′

∵△ACD为正三角形，F为CD的中点，

∴AF⊥CD

又∵EF⊥CD

∴CD⊥平面AEF

∵AG′平面AEF

∴CD⊥AG′

又∵AG′⊥EF，且CD∩EF=F，CD平面BCDE，EF平面BCDE，

∴AG⊥平面BCDE，

∴G′为A在平面BCDE内的射影G。

∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上

过G作GH⊥ED，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE，

∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角，即∠AHG =

设原正方形ABCD的边长为。

在折后图的△AEF中，AF=，EF=2AE=

∴△AEF为直角三角形，AG?EF=AE?AF，

∴AG=，

在Rt△ADE中，AH?DE=AD?AE，

∴AH=

∴GH=

∴

解法三：

点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上连结AF，在平面AEF内过点A作AG′⊥EF，垂足为G′

∵△ACD为正三角形，F为CD的中点

∴AF⊥CD

又∵EF⊥CD

∴CD⊥平面AEF

∵CD平面BCDE，

∴平面AEF⊥平面BCDE

又平面AEF∩平面BCDE=EF，AG′⊥EF，

∴AG′⊥平面BCDE，即G′为A在平面BCDE内的射影G，

∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上。

过G作GH⊥DE，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE

∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角，即∠AHG =

设原正方形ABCD的边长为

在折后图的中，.

在折后图的△AEF中，AF=，EF=2AE=

∴△AEF为直角三角形，AG?EF=AE?AF，

∴AG=，

在Rt△ADE中，AH?DE=AD?AE，

∴AH=

∴GH=

∴………………………12分