Question

（本小题满分14分）如图，已知椭圆的左焦点为F（，0），过点M（-3，0）作一条斜率大于0的直线与椭圆W交于不同的两点A、B，延长BF交椭圆W于点C.

（1）求椭圆W的离心率；

（2）若∠MAC=60°，求直线的斜率.

Answer 1

（1）（2）.

【解析】

试题分析：（1）由解得，可求得椭圆方程为，所以可求其离心率；（2）设出直线方程，并将直线方程与椭圆方程联立，可得坐标与斜率的关系，由坐标关系可得点关于轴的对称点为，可得，即为等边三角形，可求得.

试题解析：（1）由题设，

解得，（3分）

所以椭圆W：，

离心率.（5分）

（2）设直线的方程为.

联立

得，

由直线与椭圆W交于A、B两点，可知

△，解得，

设点A，B的坐标分别为，

则，，（8分）

因为F（-2，0），设点A关于轴的对称点为C′，则C′（），

所以，

又因为

，

所以B，F，C′共线，从而C与C′重合，

连接MC，则，（12分）

则△MAC为等边三角形，所以直线的斜率，符合，

综上，直线的斜率为.（14分）

考点：椭圆定义及几何性质，直线与椭圆位置关系.