Question

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝，AA₂＝2;点D在棱BB₁上，BD＝BB₁；B₁E⊥A₁D，垂足为E，求：

(Ⅰ)异面直线A₁D与B₁C₁的距离；

(Ⅱ)四棱锥C－ABDE的体积．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(Ⅰ)由直三棱柱的定义知B1C1⊥B1D，又因为∠ABC＝90°，因此B1C1⊥A1B1，从而B1C1⊥平面A1B1D，得B1C1⊥B1E．又B1E⊥A1D， 　　故B1E是异面直线B1C1与A1D的公垂线 　　由知 　　在Rt△A1B1D中，A2D＝ 　　又因 　　故B1E＝ 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知B1C1⊥平面A1B1D，又BC∥B1C1，故BC⊥平面ABDE，即BC为四棱锥C－ABDE的高．从而所求四棱锥的体积V为 　　V＝VC－ABDE＝ 　　其中S为四边形ABDE的面积．如答(19)图，过E作EF⊥BD，垂足为F． 　　在Rt△B1ED中，ED＝ 　　又因S△B1ED＝ 　　故EF＝ 　　因△A1AE的边A1A上的高故 　　S△A1AE＝ 　　又因为S△A1BD＝从而 　　S＝S△A1AE－S△A1AE－S△A1B1D＝2－ 　　所以 　　解法二： (Ⅱ)如图，以B点为坐标原点O建立空间直角坐标系O－xyz，则 　　A(0，1，0)，A1(0，1，2)，B(0，0，0) 　　B1(0，0，2)，C1(，0，2)，D(0，0，) 　　因此 　　 　　设E(，y0，z0)，则， 　　因此 　　又由题设B1E⊥A1D，故B1E是异面直线B1C1与A1D的公垂线 　　下面求点E的坐标 　　因B1E⊥A1D，即 　　 　　又 　　 　　联立(1)、(2)，解得，，即， 　　所以． 　　(Ⅱ)由BC⊥AB，BC⊥DB，故BC⊥面ABDE．即BC为四棱锥C－ABDE的高． 　　下面求四边形ABDE的面积． 　　因为SABCD＝SABE＋SADE， 　　而SABE＝ 　　SBDE＝ 　　故SABCD＝ 　　所以