Question

求函数f（x）=

2 x-2

|2x-4|+4

的值域．

Answer 1

分析：由分母非0和二次根号的被开方数不小于0，求得函数的定义域为[2，+∞），将函数化简为f（x）=2

x-2

-x，再利用换元法结合二次函数的性质解出u=-t²+t-2的最大值为-

7

4

，即可得到原函数的值域为（0，2-

7

4

]．

解答：解：函数的定义域为：

x-2≥0 |2 x-4|+4≠0

，解之得x≥2
∴函数可化简为f（x）=

2 x-2

2x-4+4

=

2 x-2

2x

=2

x-2

-x
令t=

x-2

，则t≥0，则原函数转化为f（t）=2 -t2+t-2
∵u=-t²+t-2（t≥0），当且仅当t=

1

2

时u的最大值为-

7

4

∴u≤-

7

4

，
∵2＞1得y=2^u是关于u的增函数，∴2^u∈（0，2-

7

4

]，
因此，原函数的值域为（0，2-

7

4

]

点评：本题求一个函数的值域，着重考查了二次函数的图象与性质、指数函数的单调性，考查了换元法和复合函数单调性法则等知识，属于中档题．