题目内容

已知
a
=(m，sin2x)，
b
=(cos2x，n)，x∈R，f(x)=
a
•
b
，若函数f（x）的图象经过点（0，1）和(
π
4
，1)．
（1）求m、n的值；
（2）用五点法画出f（x）在一个周期内的大致图象．
（3）若函数g（x）=af（x）+1在区间[-
π
4
，
π
4
]上的最大值与最小值之和为3，求a的值．
分析：（1）先求得f（x）=mcos2x+nsin2x，再根据它的图象过 (0，1)，(
π
4
，1)，求得m和n的值．
（2）由（1）可得 f(x)=sin2x+cos2x=
2
sin(2x+
π
4
)，再用五点法作出它在一个周期上的简图．
（3）根据正弦函数的定义域和值域，结合函数g（x）=af（x）+1在区间[-
π
4
，
π
4
]上的最大值与最小值之和为3，求得a的值．
解答：解：（1）求得f（x）=mcos2x+nsin2x，再根据它的图象过 (0，1)，(
π
4
，1)，求得m=1，n=1．
（2）由（1）可得 f(x)=sin2x+cos2x=
2
sin(2x+
π
4
)，
列表：
 2x+
π
4
  0  
π
2
  π  
3π
2
  2π
 x  -
π
8
  
π
8
  
3π
8
  
5π
8
  
7π
8
 f（x）  0  
2
  0 -
2
  0
如图：

（3）∵g(x)=
2a
sin(2x+
π
4
)+1，-
π
4
≤x≤
π
4
，∴-
π
4
≤2x+
π
4
≤
3
4
π，
∴-1≤
2
sin(2x+
π
4
)≤
2
，-a≤
2
asin(2x+
π
4
)≤
2
a(a＞0)，
或a＜0，
2
a≤
2
asin(2x+
π
4
)≤-a，
∴
2
a-a+2=3，a=
2
+1．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=（sin（A-B），sin(
π
2
-A)），
n
=（1，2sinB），且
m
•
n
=-sin2C，其中A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA+sinB=
3
2
sinC，且S△ABC=
3
，求边c的长．
已知向量
m
=（sinωx，1），
n
=（
3
Acosωx，
A
2
cos2ωx）（A＞0，ω＞0），函数f（x）=
m
•
n
的最大值为3，且其图象相邻两条对称轴之间的距离为π．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）将函数y=f（x）的图象向左平移
π
6
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
1
2
倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的单调递减区间；
（2）求函数g（x）在[
π
4
，
π
2
]上的值域．

(本小题满分12分)

已知向量m＝(sin，1)，n＝(cos，cos2)，f(x)＝m·n.

(1)若f(x)＝1，求cos(－x)的值；

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosC＋c＝b，求函数f(B)的取值范围.

 
已知向量
m
=（sinωx，1），
n
=（
3
Acosωx，
A
2
cos2ωx）（A＞0，ω＞0），函数f（x）=
m
•
n
的最大值为3，且其图象相邻两条对称轴之间的距离为π．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）将函数y=f（x）的图象向左平移
π
6
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
1
2
倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的单调递减区间；
（2）求函数g（x）在[
π
4
，
π
2
]上的值域．

已知向量m＝(sin，1)，n＝(cos，cos2)，f(x)＝m·n.

(1)若f(x)＝1，求cos(x＋)的值；

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosC＋c＝b，求函数f(B)的取值范围.

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