Question

已知定义在R上的奇函数f（x）满足：f(x+4)=

1

f(x)

，当x∈（0，2]时，f（x）=2^x，则f（2011）=

-

1

2

．

Answer 1

分析：先由f(x+4)=

1

f(x)

，可得函数的周期为8，就把f（2011）转化为f（3），再f（3）=

1

f(-1)

=

1

-f(1)

=

1

-21

=-

1

2

求得

解答：解：由f(x+4)=

1

f(x)

，可得f(x+8)=

1

f(x+4)

=f(x)，函数的周期为8，
所以f（2011）=f（251×8+3）=f（3）
在f(x+4)=

1

f(x)

中令x=-1，又得f（3）=

1

f(-1)

=

1

-f(1)

=

1

-21

=-

1

2

故答案为：-

1

2

点评：本题主要考查函数的奇偶性和周期性，是对函数基本性质的考查，属于基础题．