Question

（2013•浦东新区二模）设函数f（x）=（x-a）|x|+b
（1）当a=2，b=3，画出函数f（x）的图象，并求出函数y=f（x）的零点；
（2）设b=-2，且对任意x∈（-∞，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将a=2，b=3代入，利用零点分段法，可求出函数f（x）的解析式，根据二次函数的图象和性质，可得函数f（x）的图象，进而分析函数图象可得答案．
（2）将b=-2代入可将f（x）＜0可化为（x-a）|x|＜2，对x进行分类讨论后，综合讨论结果，可得答案．

解答：解：（1）当a=2，b=3时
函数f（x）=（x-2）|x|+3的解析式可化为：
f(x)=

x2-2x+3      x≥0 2x-x2+3      x＜0

，
故函数的图象如下图所示：

当x≥0时，由f（x）=0，得x²-2x+3=0，此时无实根；
当x＜0时，由f（x）=0，得x²-2x-3=0，得x=-1，x=3（舍）．
所以函数的零点为x=-1．
（2）当b=-2时，由f（x）＜0得，（x-a）|x|＜2．
当x=0时，a取任意实数，不等式恒成立；
当0＜x≤1时，a＞x-

2

x

，令g(x)=x-

2

x

，则g（x）在0＜x≤1上单调递增，
∴a＞g_max（x）=g（1）=-1；
当x＜0时，a＞x+

2

x

，令h(x)=x+

2

x

，
则h（x）在[-

2

，0)上单调递减，(-∞，-

2

]单调递增；
∴a＞hmax(x)=h(-

2

)=-2

2

．
综合 a＞-1．

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数的图象和性质，函数的零点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．