题目内容
设各项均为正数的数列
的前n项和为Sn，已知
，且
对一切
都成立．
（1）若λ=1，求数列的通项公式；
（2）求λ的值，使数列是等差数列．
(1)
；(2)
．
解析试题分析：(1)本题已知条件是
，我们要从这个式子想办法得出
与
的简单关系式，变形为
，这时我们联想到累乘法求数列通项公式的题型，因此首先由得
，又
，这个式子可化简为
，这样就变成我们熟悉的已知条件，已知解法了；(2)这种类型问题，一种方法是从特殊到一般的方法，可由
成等差数列，求出，然后把
代入已知等式，得
，
，这个等式比第(1)题难度大点，把化为，有当n≥2时，
，整理，得
，特别是可变形为
，这样与第(1)处理方法相同，可得
，即
，从而说不得
是等差数列．
试题解析：（1）若λ=1，则
，
．
又∵
，∴， 2分
∴
，
化简，得
．① 4分
∴当
时，
．②
②-①，得
，∴
（）． 6分
∵当n=1时，
，∴n=1时上式也成立，
∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，an=2n-1（）． 8分
（2）令n=1，得
．令n=2，得
． 10分
要使数列是等差数列，必须有
，解得λ=0． 11分
当λ=0时，，且
．
当n≥2时，，
整理，得，， 13分
从而
，
化简，得
，所以
． 15分
综上所述，
（），
所以λ=0时，数列是等差数列． 16分
考点：递推公式，累乘法，与的关系，等差数列．
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的前n项和为
,存在常数A,B,C,使得
对任意正整数n都成立.
设
数列
的前n项和为
,求
数列
的前2014项和为P,求不超过P的最大整数的值.
满足：
， 
；
满足
，求数列
和.
的各项均为正数，且
成等差数列，
成等比数列.
，记
，
,求证：
中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列
的一个是等比数列的子列；
，公比
且
，则数列
中，已知
．
分别为等差数列
的第3项和第5项，试求数列
项和
．
的公差为
，且
．若设
是从
开始的前
项数列的和，即
，
，如此下去，其中数列
是从第
开始到第
)项为止的数列的和，即
．
,试找出一组满足条件的
,使得： 
；
，一定可通过适当的划分，使所得的数列
中的各数都为平方数；
．试探索该数列中是否存在无穷整数数列
,使得
的前n项和为Sn,已知
，且
对一切
都成立．