Question

已知方程x²+y²-2x-4y+m=0.

（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；

（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；

（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程.

Answer 1

（1）m＜5（2）m=（3）x²+y²-x-y=0

解析:

（1）（x-1)²+(y-2)²=5-m,∴m＜5.

（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

则x₁=4-2y₁，x₂=4-2y₂，

则x₁x₂=16-8（y₁+y₂）+4y₁y₂

∵OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y₂=0

∴16-8（y₁+y₂）+5y₁y₂=0                                                                                                     ①

由

得5y²-16y+m+8=0

∴y₁+y₂=,y₁y₂=,代入①得，m=.

（3）以MN为直径的圆的方程为

（x-x₁）(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0

即x²+y²-(x₁+x₂)x-(y₁+y₂)y=0

∴所求圆的方程为x²+y²-x-y=0.