Question

用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形，再将内接矩形卷成一个圆柱（无底、无盖），问使矩形边长为多少时，其体积最大？

Answer 1

分析：首先分析题目要求半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形，将内接矩形卷成一个圆柱（无底、无盖），求其体积最大．故可以设矩形的两边x，y．然后列出方程．由几何关系x²+y²=4R²故有y=

4R2-x2

．利用公式表示成圆柱体的体积，利用导数求最值即可．

解答：解：可设矩形的两边x，y，由几何关系x²+y²=4R²故有y=

4R2-x2

．，
则体积V=π×(

x

2π

)2×

4R2-x2

=

x 2

4π

 ×

4R2-x2

∴V′=

1

4π

×（2x×

4R2-x2

+

x2×(-x)

4R2-x2

）
令V′=0得2x×

4R2-x2

+

x2×(-x)

4R2-x2

=0，整理得

4R2-x2

=x，解得x=

2

R，此时另一边长为

2

R
即当x=

2

R时，体积取到最大值，最大值为V=

2R 2

4π

 ×

4R2-2R2

=

2

2

R3
即当长与宽都是

2

R时，此圆柱体体积取到最大值

2

2

R3

点评：此题主要考查导数求最值在实际中的应用问题，由导数求最值在高考中属于重要考点，需要同学们理解记忆．