Question

函数y=

x2-x+n

x2+1

(n∈N+，y≠1)的最小值为a_n，最大值为b_n，且cn=4(

a

n

bn-

1

2

)，数列{C_n}的前n项和为S_n．
（1）求数列{c_n}的通项公式；
（2）若数列{d_n}是等差数列，且dn=

Sn

n+c

，求非零常数c；
（3）若f(n)=

dn

(n+36)dn+1

(n∈N+)，求数列{f（n）}的最大项．

Answer 1

分析：（1）根据题中已知条件便可求出a_nb_n，然后代入c_n的表达式中即可求出数列{c_n}的通项公式；
（2）由（1）中c_n的通项公式先求出S_n的表达式，然后根据题意求出d_n的通项公式，再根据dn为等差数列的条件便可求出c的值；
（3）将（2）中求得的d_n 的通项公式代入求出f（n）的表达式，然后根据不等式的性质可知当n=6时，f（n）有最大值．

解答：解：（1）由y=

x2-x+n

x2+1

，(n∈N*，y≠1)，得x2(y-1)+x+y-n=0
∵x∈R，y≠1，
∴△=1-4（y-1）（y-n）≥0，即4y²-4（1+n）y+4n-1≤0
由题意知：a_n，b_n是方程4y²-4（1+n）y+4n-1=0的两根，

∴an• b   n =n- 1 4 ∴Cn=4n-3，(n∈N*)

（2）Sn=2n2-n，dn=

2n2-n

n+c

，
∴d1=

1

1+c

，d2=

6

2+c

，d3=

15

3+c

∵{d_n}为等差数列，
∴2d₂=d₁+d₃，
∴2c²+c=0，
∴c=-

1

2

或c=0(舍)
经检验c=

1

2

时，{d_n}是等差数列，d_n=2n；
（3）f(n)=

2n

(n+36)(2n+2)

=

1

n+ 36 n +37

≤

1

37+2 36

=

1

49

当且仅当n= 36 n 即n=6时取”=” ∴f(n)的最大值为 1 49 .

点评：本题主要考查了等差数列、等比数列的基本公式以及数列与函数的综合运用，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．