题目内容
已知数列{an} 的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+ ……+an，B（n）=a2+a3+ ……+an+1，C（n）=a3+a4+ ……+an+2，n=1 ，2 ，…… 。
（1）若a1=1 ，a2=5 ，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{an} 的通项公式，
（2）证明：数列{an} 是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意
，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列。
（1）若a1=1 ，a2=5 ，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{an} 的通项公式，
（2）证明：数列{an} 是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意
，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列。解：（1）对任意
，三个数
是等差数列，
所以
即
亦即
故数列
是首项为1，公差为4的等差数列
于是
。
（2）①必要性：若数列
是公比为的等比数列，则对任意
，
有
由
知，
均大于0，
于是
即
＝
＝
，
所以三个数
组成公比为
的等比数列。
②充分性：若对于任意
，三个数
组成公比为
的等比数列，
则
，于是
得
即
由
有
即
，
从而
因为
，所以
，
故数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
综上所述，数列
是公比为
的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数
组成公比为
的等比数列。
，三个数是等差数列，所以
即
亦即故数列
是首项为1，公差为4的等差数列于是
。（2）①必要性：若数列
是公比为的等比数列，则对任意，有
由
知，均大于0，于是
即
＝＝，所以三个数
组成公比为的等比数列。②充分性：若对于任意
，三个数组成公比为的等比数列，则
，于是得即
由
有即，从而
因为
，所以，故数列
是首项为，公比为的等比数列，综上所述，数列
是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列。
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