Question

若函数f（x）=lg（ax²+x+1）在区间（-1，+∞）上为单调递增函数，则实数a的取值范围是

[0，

1

2

]

．

Answer 1

分析：因为函数f（x）=lg（ax²+x+1）为函数y=lgx与y=ax²+x+1的复合函数，复合函数的单调性是同则增，异则减，因为函数y=lgx在定义域内为增函数，要想复合函数为增函数，只需在定义域上y=ax²+x+1在（-1，+∞）上为单调递增函数，同时还要保证真数恒大于零，由二次函数的图象和性质列不等式即可求得a的范围

解答：解：∵函数f（x）=lg（ax²+x+1）在区间（-1，+∞）上为单调递增函数
∴y=ax²+x+1在（-1，+∞）上为单调递增函数，且ax²+x+1＞0在（-1，+∞）上恒成立
a=0时，显然符合题意
a≠0时
∴需y=ax²+x+1  在[-1，+∞）上的最小值a-1+1=a≥0，且对称轴x=-

1

2a

≤-1，∴0＜a≤

1

2

综上所述，0≤a≤

1

2

故答案为[0，

1

2

]

点评：本题考查了对数函数的图象和性质，二次函数图象和性质，复合函数的定义域与单调性，不等式恒成立问题的解法，转化化归的思想方法