Question

已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y²-6y+11）+f（x²-8x+10）≤0，则当y≥3时，函数F（x，y）=x²+y²的最小值与最大值分别为

1. A.
   13、45
2. B.
   9、45
3. C.
   13、49
4. D.
   9、49

Answer 1

C
分析：由题意可得：函数f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数，并且在R上是增函数．进而可得（x-4）²+（y-3）²≤4（y≥3）表示以（4，3）为圆心，以2为半径的上半圆面，再根据x²+y²的几何意义是点（x，y）到原点的距离的平方可得答案．
解答：由题意可得：函数f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数，
又因为f′（x）=1+cosx≥0，
所以函数f（x）=x+sinx在R上是增函数．
因为f（y²-6y+11）+f（x²-8x+10）≤0，
所以f（y²-6y+11）≤-f（x²-8x+10）=f（-x²+8x-10），
所以y²-6y+11≤-x²+8x-10，即（x-4）²+（y-3）²≤4，
因为y≥3，所以此不等式表示以（4，3）为圆心，以2为半径的上半圆面．
根据x²+y²的几何意义是点（x，y）到原点的距离的平方可得：x²+y²的最小值与最大值分别为13、49．
故选C．
点评：本题主要考查函数的单调性与奇偶性，以及考查x²+y²的几何意义是距离的平方．