Question

【题目】已知函数（其中是自然对数的底数），．

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）设，若满足且，试判断方程的实数根个数,并说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），但无极小值；（Ⅱ）有2个实数根，利用见解析.

【解析】

（I）利用的导函数研究的单调性，由此求得的极值.

（II）求得的表达式，求得其导函数，由此求得的单调区间、极小值（最小值），结合零点存在性定理，判断出有两个实数根.

（Ⅰ）因为，所以．

当时，，此时单调递增；

当时，，此时单调递减．

所以，但无极小值．

（Ⅱ）因为，所以

因为，所以，于是．

令，得或．

当时，，此时单调递增；

当时，，此时单调递减；

当时，，此时单调递增．

所以．

因为，所以，．

又函数在上连续，故有一个零点为0，且在上也有一个零点．

综上，方程的有2个实数根．