题目内容
已知直线l在x轴、y轴上的截距分别是a和b（a＞0，b＞0），且经过点M（1，4），则a+b的最小值为 ．
分析：写出直线的截距式方程，代入已知点的坐标，则由a+b=（a+b）•(
+
)=5+
+
，然后利用基本不等式求最小值．
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
| b |
| a |
| 4a |
| b |
解答：解：∵直线l在x轴、y轴上的截距分别是a和b（a＞0，b＞0），
∴可设直线l的方程为
+
=1，
∵直线l经过点M（1，4），
∴
+
=1．
∴a+b=（a+b）•(
+
)=5+
+
．
又a＞0，b＞0，
∴a+b=5+
+
≥5+2
=9 （当且仅当2a=b时取“=”）．
∴a+b的最小值为9．
故答案为：9．
∴可设直线l的方程为
| x |
| a |
| y |
| b |
∵直线l经过点M（1，4），
∴
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
∴a+b=（a+b）•(
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
| b |
| a |
| 4a |
| b |
又a＞0，b＞0，
∴a+b=5+
| b |
| a |
| 4a |
| b |
|
∴a+b的最小值为9．
故答案为：9．
点评：本题考查了直线的截距式方程，考查了利用基本不等式求最值，关键是“1”的代换，是基础题．
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