Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在点x₀处取得极大值4，其导函数y=f′（x）的图象经过点（0，0），（2，0），如图，
（1）求 a，b，c的值；
（2）若x∈[-1，1]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）求出导函数，由导函数的图象求出函数的单调区间，求出函数的极值，，列出方程组，解方程组求出a，b，c
（2）求出函数的极值及函数的端点值，选出最大值、最小值．

解答：解：（1）f′（x）=3ax²+2bx+c
由导函数的图象知，f（x）在（-∞，0）和（2，+∞）递减；在（0，2）上递增
所以当x=2时取得极大值
所以有

c=0 12a+4b+c=0 8a+4b+2c=4

解得a=-1，b=3，c=0
（2）由（1）知，f（x））=-x³+3x²，且函数在x=0处有极小值
因为f（0）=0；f（-1）=4，f（1）=2
所以f（x）的最大值4；最小值为0．

点评：求函数的最值问题，先利用导数求出函数的极值，再求出函数在区间的端点处的函数值，从中选出最值．