Question

【题目】如图，已知梯形CDEF与△ADE所在平面垂直，AD⊥DE，CD⊥DE，AB∥CD∥EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9．CD=12，连接BC，BF．

（Ⅰ）若G为AD边上一点，DG= DA，求证：EG∥平面BCF；
（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵梯形CDEF与△ADE所在平面垂直，AD⊥DE，CD⊥DE，AB∥CD∥EF， ∴以D为原点，DC为x轴，DE为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AE=2DE=8，AB=3，EF=9．CD=12，连接BC，BF．G为AD边上一点，DG= DA，
∴E（0，4，0），G（0，0， ），B（3，0，4 ），C（12，0，0），F（9，4，0），
=（9，0，﹣4 ）， =（6，4，﹣4 ）， =（0，﹣4， ），
设平面BCF的法向量 =（x，y，z），
则 ，取z=3 ，得 =（4，3，3 ），
∵ =﹣12+12=0，EG平面BCF，
∴EG∥平面BCF．
解：（Ⅱ） =（3，﹣4，4 ）， =（9，0，0），
设平面BEF的法向量 =（a，b，c），
则 ，取c=1， =（0， ，1），
平面BFC的法向量 =（4，3，3 ），
设二面角E﹣BF﹣C的平面角为θ，
则cosθ= = = ．
∴二面角E﹣BF﹣C的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）以D为原点，DC为x轴，DE为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EG∥平面BCF．（Ⅱ）求出平面BEF的法向量和平面BFC的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣BF﹣C的余弦值．
【考点精析】掌握直线与平面平行的判定是解答本题的根本，需要知道平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．