Question

已知数列{a_n}的前n项和为，数列{b_n}满足条件：b₁=1，b_n-b_n-1=2^n-1（n≥2）．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根据数列的前n项和与通项之间的关系即可求出{a_n}的通项公式；再结合b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）以及等比数列的求和公式即可求出{b_n}的通项公式；
（2）先根据上面的结论求出数列{a_nb_n}的通项公式；再对其中的一部分利用错位相减求和，最后结合等差数列的求和公式求出另一部分即可得到结论．
解答：解：（1）因为数列{a_n}的前n项和为，
所以有：a₁=S₁=1，a_n=S_n-S_n-1=n（n≥2），
所以a_n=n．
而数列{b_n}满足条件：b₁=1，b_n-b_n-1=2^n-1（n≥2）．
故b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=1+2+2²+…+2^n-1==2ⁿ-1；
（2）由（1）得：a_nb_n=n2ⁿ-n．
令U_n=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ…..①
所以：2U_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹   …②
①-②得-U_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）2ⁿ⁺¹-2；
∴U_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
所以，T_n=U_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
点评：本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式以及数列的前n项和与通项之间的关系求数列的通项，其中渗透了数列求和的错位相减法这一知识点，属于综合题目．