题目内容

设函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）＞f（b），

证明：ab＜1．

 

答案：
解析：

证明：方法一：由已知f（x）=|lgx|=

∵0＜a＜b，f（a）＞f（b），∴a、b不能同时在区间［1，＋∞）上，又由于0＜a＜b，故必有a∈（0，1）；

若b∈（0，1），显然有ab＜1．若b∈［1，＋∞，由f（a）－f（b）＞0，

有－lga－lgb＞0，故lgab＜0，∴ab＜1．

方法二：由题设f（a）＞f（b），即|lga|＞|lgb|，上式等价于（lga）2＞（lgb）2

（lga＋lgb）（lga－lgb）＞0，lg（ab）lg＞0，由已知b＞a＞0，∴＜1，

∴lg＜0，∴lg（ab）＜0，0＜ab＜1

 


练习册系列答案
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设函数f（x）的定义域为D，若存在非零数l使得对于任意x∈M（M⊆D）有x+l∈D且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数．现给出下列命题：
①函数f（x）=(
12
)x为R上的1高调函数；
②函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数
③如果定义域为[1，+∞）的函数f（x）=x2为[-1，+∞）上m高调函数，那么实数m的取值范围是[2，+∞）其中正确的命题是
 
．（写出所有正确命题的序号）
现有下面四个命题：
①曲线y=-x2+2x+4在点（1，5）处的切线的倾斜角为45°；
②已知直线l，m，平面α，β，若l⊥α，m?β，l⊥m，则α∥β；
③设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0），若f（1）=0，
则f（x+1）一定是奇函数；
④如果点P到点A(
1
2
，0)，B(
1
2
，2)及直线x=-
1
2
的距离相等，那么满足条件的点P有且只有1个．
其中正确命题的序号是
 
．（写出所有正确命题的序号）
（2009•滨州一模）设函数f（x）=p（x-
1x
）-2lnx，g（x）=x2，
（I）若直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象相切于点（1，0），求实数p的值；
（II）若f（x）在其定义域内为单调函数，求实数p的取值范围．
设函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线为l，则圆2x2+2y2-8x-8y+15=0上的点到直线l的最短距离为
2
2
．
（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A．（不等式选讲选做题）设函数f（x）=|x-a|-2，若不等式|f（x）|＜1的解集为（-2，0）∪（2，4），则实数a=
1
1
．
B．（几何证明选讲选做题）如右图，已知PB是圆O的切线，A是切点，D是弧AC上一点，若∠BAC=70°，则∠ADC=
110°
110°
．
C．（坐标系与参数方程）极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+
π
6
）=2，则极点在直线l上的射影的极坐标是
（2，
π
3
）
（2，
π
3
）
．

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