Question

设{a_n}是公差不为零的等差数列，S_n为其前n项和，满足S₄=8且a₁、a₂、a₅成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足：bn-an=2n+1，n∈N^*，T_n为数列{b_n}的前n项和，问是否存在正整数n，使得T_n=2012成立？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）设数列{a_n}的公差为d，且d≠0
∵S₄=8且a₁、a₂、a₅成等比数列，
∴

4a1+6d=8 (a1+d)2=a1(a1+4d)

解得

a1= 1 2 d=1

或

a1=2 d=0

（舍去）…（3分）
∴an=

1

2

+(n-1)×1=n-

1

2

…（6分）
（II）由题知：bn=an+2n+1=n-

1

2

+2n+1，
∴T_n=2²+2³+…+2^n-1+

n

2

(

1

2

+n-

1

2

)=

1

2

n2+2n+2-4 …（10分）
若T_n=2012，则

1

2

n2+2n+2-4=2012，即n²+2ⁿ⁺³=4032
令f（n）=n²+2ⁿ⁺³，知f（n）单调递增，
当1≤n≤8时，f（n）≤8²+2¹¹=2112＜4032
当n≥9时，f（n）≥9²+2¹²=4177＞4032，
故不存在正整数n，使得T_n=2012成立． …（14分）