Question

如图所示，把一个圆分成n（n≥2）个扇形，依次记为S₁、S₂、…、S_n-1，每一个扇形可用红、黄、蓝三种颜色中的任一种涂色，但要求相邻扇形的颜色互不相同，问一共有多少种涂色方法？

Answer 1

分析：分类讨论，利用当n＞2时，S₁有3种涂法，S₂有两种涂法，S₃、…、S_n，依次有两种涂法，故共有3×2^n-1种涂法，但其中S_n与S₁的颜色相同时有a_n-1种涂法，故an=3×2n-1-an-1（n＞2），即可得到结论．

解答：解：设分成n个扇形时，涂法的总数为a_n（n≥2）
n=2时，S₁有3种涂法，S₂与S₁的颜色不能相同，故对于S₁的每一种涂法，S₂仅有两种涂法，故共有a₂=3×2=6种涂法；
当n＞2时，S₁有3种涂法，S₂有两种涂法，S₃、…、S_n，依次有两种涂法，故共有3×2^n-1种涂法，但其中S_n与S₁的颜色相同时有a_n-1种涂法，故an=3×2n-1-an-1（n＞2）
∴

an

2n

-1=-

1

2

（

an-1

2n-1

-1）
∴{

an

2n

-1}是首项为

1

2

，公比为-

1

2

的等比数列
∴

an

2n

-1=

(-1)n

2n-1

∴an=2[2n-1+(-1)n]（n≥2）
∴一共有2[2^n-1+（-1）ⁿ]（n≥2）种涂色方法．

点评：本题考查排列组合知识，考查等比数列的确定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．