题目内容

已知向量 $数学公式$ ， $数学公式$ ，且 $数学公式$
（1）求 $数学公式$ 并判断x为何值时 $数学公式$ ；
（2）若 $数学公式$ 的最小值是 $数学公式$ ，求λ的值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ =（ cos $\text{[math]}$ +cos $\text{[math]}$ ，sin $\text{[math]}$ -sin $\text{[math]}$ ），故 $\text{[math]}$ ²=2+2cos2x=4cos²x．
因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ =2cosx．再由 $\text{[math]}$ ，
若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
（2）∵ $\text{[math]}$ =2（cosx-λ）²-1-2λ²，
因为 $\text{[math]}$ ，所以cosx∈[0，1]．
讨论：若λ＜0时，f（x）_min=-1，矛盾．
若0≤λ≤1时， $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
若λ＞1时，f（x）_min=1-4λ=- $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，矛盾．
综合可得 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先求出 $\text{[math]}$ 的坐标，从而求出 $\text{[math]}$ 的值，从而求得 $\text{[math]}$ =2cosx．再由 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 时x的值．
（2）化简函数f（x）的解析式为2（cosx-λ）²-1-2λ²，分λ＜0、0≤λ≤1、λ＞1三种情况，根据函数的最小值等于 $\text{[math]}$ 分必然求出λ的值．
点评：本题主要考查两个向量数量积公式的应用，余弦函数的定义域和值域，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．