Question

14．如图，正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=OB=OC=2．E、F分别是AB、AC的中点，过EF作平面与侧棱OA，OB，OC或其延长线分别相交于A₁、B₁、C₁．
（Ⅰ）求证：直线B₁C₁∥平面ABC；
（Ⅱ）若OA₁=$\frac{3}{2}$，求二面角O-A₁B₁-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明EF∥面OBC，可得EF∥B₁C₁，即可证明：直线B₁C₁∥平面ABC；
（Ⅱ）若OA₁=$\frac{3}{2}$，以OA，OB，OC为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式求二面角O-A₁B₁-C₁的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC
又∵EF?面OBC，∴EF∥面OBC                       …（2分）
∵面A₁B₁C₁∩面OBC=B₁C₁，EF?面A₁B₁C_1∩
∴EF∥B₁C₁…（4分）
又∵B₁C₁?面ABC，∴B₁C₁∥面ABC                       …（6分）
（Ⅱ）解：如图，以OA，OB，OC为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），
A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，2），E（1，1，0），F（1，0，1），…（8分）

∵B₁∈OB，设B₁（0，m，0），又∵点B₁∈平面A₁EF，
∴$\overrightarrow{O{B_1}}=λ\overrightarrow{OE}+μ\overrightarrow{OF}+（1-λ-μ）\overrightarrow{O{A_1}}=（\frac{-（λ+μ）+3}{2}，λ，μ）=（0，m，0）$，
解得m=3
∴B₁（0，3，0），同理C₁（0，0，3）…（10分）
设平面A₁B₁C₁的法向量为m=（x，y，z），$\overrightarrow{{A_1}{B_1}}=（-\frac{3}{2}，3，0），\overrightarrow{{A_1}{C_1}}=（-\frac{3}{2}，0，3）$，$m•\overrightarrow{{A_1}{B_1}}=-\frac{3}{2}x+3y=0$，$m•\overrightarrow{{A_1}{C_1}}=-\frac{3}{2}x+3z=0$，取m=（2，1，1），…（12分）
又知平面OA₁B₁即平面OAB的法向量为n=（0，0，1），设二面角O-A₁B₁-C₁为θ，
∵二面角O-A₁B₁-C₁为锐角，∴$cosθ=|\frac{m•n}{|m|•|n|}|=\frac{1}{{1•\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，…（14分）
∴二面角O-A₁B₁-C₁的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．                      …（15分）

点评 本题考查线面平行的判定与性质，考查二面角的余弦值，考查向量方法的运用，属于中档题．