Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，AB∥DC，∠ADC=90°，PC=AB=2AD=2DC=2，点E为PB的中点．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）求点P到平面ACE的距离．

Answer 1

分析 （1）证明AC⊥平面PBC，即可证明平面PAC⊥平面PBC；
（2）利用等体积，即可求点P到平面ACE的距离．

解答 （1）证明：∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥AC，
又∵AC⊥BC，PC∩BC=C，
∴AC⊥平面PBC，
∵AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBC…（5分）
（2）解：∵点E为PB的中点，∴S_△PCE=$\frac{1}{2}{S}_{△PCB}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$…（7分）
由（1）得：AC⊥平面PBC，∴V_A-PCE=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$=$\frac{1}{3}$，
设点P平面ACE的距离为h．
则由等体积可得$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}）h$=$\frac{1}{3}$解得：h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
点P到平面ACE的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$…（12分）

点评 本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查等体积方法求点到平面的距离，属于中档题．