Question

已知函数f（x）=x³+ax²+ax+b的图象过点P（0，2），且在x=-1处的切线斜率为6．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数过P点，把P坐标代入到f（x）中得到b的值，又因为函数在x=-1处的切线斜率为6得到（-1，6）在导函数上，求出导函数代入求出a即可；
（Ⅱ）要求函数的单调区间令导函数等于0求出驻点讨论导函数的正负判断函数的单调区间即可．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3x²+2ax+a．
由题意知

f(0)=b=2 f′(-1)=3-2a+a=6

，解得

a=-3 b=2

．
∴f（x）=x³-3x²-3x+2．
（Ⅱ）f'（x）=3x²-6x-3．
令3x²-6x-3=0，即x²-2x-1=0．
解得x1=1-

2

，x2=1+

2

．
当x＜1-

2

，或x＞1+

2

时，f′(x)＞0；
当1-

2

＜x＜1+

2

时，f′(x)＜0．
∴f（x）的单调递增区间为：(-∞，1-

2

)和(1+

2

，+∞)，
f（x）的单调递减区间为：(1-

2

 ，1+

2

)．

点评：此题考查学生利用待定系数的方法求函数解析式的运用能力，利用导数研究函数的单调性的能力，以及理解直线斜率的意义．