Question

【题目】已知椭圆C与椭圆E： 共焦点，并且经过点 ，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）在椭圆C上任取两点P、Q，设PQ所在直线与x轴交于点M（m，0），点P1为点P关于轴x的对称点，QP1所在直线与x轴交于点N（n，0），探求mn是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：椭圆E： 的焦点为（± ，0），

设椭圆C的方程为 + =1（a＞b＞0），

可得c= = ，

点 代入椭圆方程，可得 + =1，

解得a=2，b= ，

即有椭圆C的方程为

（2）

解：当PQ斜率不存在时，不合题意．

故设PQ为y=kx+b，（k≠0，b≠0），则 ，

设点P（x1，y1），则P1（x1，﹣y1），

设Q（x2，y2），则P1Q方程为 ，

令y=0，

则 ，

由 得（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣4=0，

则 ．则 ，

故 ，所以mn=4．所以mn是定值，定值为4

【解析】（1）设椭圆C的方程为 + =1（a＞b＞0），可得c= = ，点 代入椭圆方程，解方程即可得到所求方程；（2）当PQ斜率不存在时，不合题意．故设PQ为y=kx+b，（k≠0，b≠0），代入椭圆方程，运用韦达定理，以及直线方程的运用，即可得到定值．