题目内容

AB垂直于△BCD所在的平面，AC=

，AD=

，BC：BD=3：4，当△BCD的面积最大时，点A到直线CD的距离为

．

分析：利用线面垂直的性质可得AB⊥BC，AB⊥BD，利用勾股定理可得BC、BD、AB．当∠CBD=90°时，△BCD的面积最大，CD=

BC2+BD2

．过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，则CD⊥AE．利用等面积可得BE，再利用勾股定理可得AE．

解答：解：如图所示．

设BC=3x，则BD=4x．∵AB⊥平面BCD．
∴AB⊥BC，AB⊥BD．
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB=

AC2-BC2

10-9x2

．
在Rt△ABD中，同理，AB=

17-16x2

，
∴

10-9x2

17-16x2

，解得x=1．
∴BC=3，BD=4，AB=1．
当∠CBD=90°时，△BCD的面积最大，CD=

BC2+BD2

=5．
过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，则CD⊥AE．
在Rt△BCD中，BE=

BC•BD

．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BE．
∴AE=

AB2+BE2

1+(

．
故答案为

．

点评：本题综合考查了线面垂直的性质、勾股定理等基础知识与基本方法，属于基础题．

练习册系列答案

相关题目

选做题（考生只能从A，B，C中选做一题，多做以所做第一题记分）
A．（不等式选做题）
已知a∈R，若关于x的方程x²+4x+|a-1|+|a+1|=0无实根，则a的取值范围是

（-∞，-2）∪（2，+∞）

．
B．（几何证明选做题）
如图，CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC=1，∠BCD=30°，则圆O的面积为

．
C．（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，若过点（1，0）且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A、B两点，则|AB|=

．

（2012•宣城模拟）如图甲，四边形ABCD是由两个直角三角形拼成的平面图形，△ABD是等腰直角三角形，∠ABD=90°，△CBD中∠C=90°，
∠DBC=30°，CD=1．现将四边形ABCD沿BD折起，使AB⊥平面BCD（如图乙），连AC，作BE垂直AC于E，BF垂直AD于F．

（Ⅰ）求证：AD⊥平面BEF；
（Ⅱ）求BC与平面BEF所成角的余弦值；
（Ⅲ）在线段BD上是否存在一点M，使得CM∥平面BEF？若存在，求出

的值；若不存在，说明理由．

选做题（考生只能从A，B，C中选做一题，多做以所做第一题记分）
A．（不等式选做题）
已知a∈R，若关于x的方程x²+4x+|a-1|+|a+1|=0无实根，则a的取值范围是．
B．（几何证明选做题）
如图，CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC=1，∠BCD=30°，则圆O的面积为．
C．（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，若过点（1，0）且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A、B两点，则|AB|=．

选做题（考生只能从A，B，C中选做一题，多做以所做第一题记分）
A．（不等式选做题）
已知a∈R，若关于x的方程x²+4x+|a-1|+|a+1|=0无实根，则a的取值范围是    ．
B．（几何证明选做题）
如图，CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC=1，∠BCD=30°，则圆O的面积为    ．
C．（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，若过点（1，0）且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A、B两点，则|AB|=    ．

如图甲，四边形ABCD是由两个直角三角形拼成的平面图形，△ABD是等腰直角三角形，∠ABD=90°，△CBD中∠C=90°，
∠DBC=30°，CD=1．现将四边形ABCD沿BD折起，使AB⊥平面BCD（如图乙），连AC，作BE垂直AC于E，BF垂直AD于F．

（Ⅰ）求证：AD⊥平面BEF；
（Ⅱ）求BC与平面BEF所成角的余弦值；
（Ⅲ）在线段BD上是否存在一点M，使得CM∥平面BEF？若存在，求出

的值；若不存在，说明理由．

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