Question

【题目】在平面直角坐标平面中， 的两个顶点为，平面内两点、同时满足：①；②；③．

（1）求顶点的轨迹的方程；

（2）过点作两条互相垂直的直线，直线与点的轨迹相交弦分别为，设弦的中点分别为．

①求四边形的面积的最小值；

②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①的最小值的，②直线恒过定点．

【解析】试题分析：（1）由可得为的重心，设，则，再由，可得为的外心， 在轴上，再由∥，可得，结合即可求得顶点的轨迹的方程；（2）恰为的右焦点．当直线， 的斜率存在且不为0时，设直线的方程为．联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求得的纵坐标得到和与积．①根据焦半径公式得、，代入四边形面积公式，再由基本不等式求得四边形面积的最小值；②根据中点坐标公式得的坐标，得到直线的方程，化简整理令解得值，可得直线恒过定点；当直线， 有一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为0，直线即为轴，过点（.

试题解析：（1）∵

∴由①知

∴为的重心

设，则，由②知是的外心

∴在轴上由③知，由，得，化简整理得： ．

（2）解： 恰为的右焦点，

①当直线的斜率存且不为0时，设直线的方程为，

由，

设则，

①根据焦半径公式得，

又，

所以，同理，

则，

当，即时取等号．

②根据中点坐标公式得，同理可求得，

则直线的斜率为，

∴直线的方程为，

整理化简得，

令，解得

∴直线恒过定点，

②当直线有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为0，直线即为轴，过点，

综上， 的最小值的，直线恒过定点．