题目内容
9．在数学研究中，函数的变化率是研究的重点对象之一，定义$\frac{f（x）+f（a）}{|x-a|}$为函数f（x）对实数x=a的平均定向增长率．已知某物体离开初始位置的距离f（x）与时间x的函数关系式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x+4，x≥2}\\{37-18x，x＜2}\end{array}\right.$求该物体离开初始位置的距离对x=2的平均定向增长率的最小值．分析 分类得出当x＞2时，对x=2的平均定向增长率g（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+16}{x-2}$=（x-2）$+\frac{24}{x-2}$+6，x＞2利用基本不等式得出
当x＞2时，g（x）的最小值为4$\sqrt{6}$+6，
当x＜2时，对x=2的平均定向增长率g（x）=$\frac{18x-49}{x-2}$=18-$\frac{13}{x-2}$，x＜2，
利用单调性得出：18-$\frac{13}{x-2}$＞18，求解即可得出g（x）的最小值．
解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x+4，x≥2}\\{37-18x，x＜2}\end{array}\right.$，
∴f（x）=12，
当x＞2时，对x=2的平均定向增长率g（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+16}{x-2}$=（x-2）$+\frac{24}{x-2}$+6，x＞2
∵（x-2）$+\frac{24}{x-2}$+6≥2$\sqrt{24}$+6=4$\sqrt{6}$+6，
∴当x＞2时，g（x）的最小值为4$\sqrt{6}$+6，
当x＜2时，对x=2的平均定向增长率g（x）=$\frac{18x-49}{x-2}$=18-$\frac{13}{x-2}$，x＜2，
18-$\frac{13}{x-2}$＞18，
∴z最小值为4$\sqrt{6}$+6，
点评 本题综合考察了了函数的思想的运用，不等式求解最小值，化简运用题目条件得出基本不等式运用的条件，关键是正确理解题意．
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