Question

已知函数f（x）=x•lnx，
（1）求函数所对应曲线在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得f（1）与f′（1），从而由直线的点斜式可得函数所对应曲线在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）通过f′（x）＞0可求其递增区间，通过f′（x）＜0可求其单调减区间．

解答：解：（1）∵f（x）=x•lnx，x＞0，
∴f′（x）=x′•lnx+x（lnx）′=lnx+1，x＞0，
又f（1）=ln1=0，
k=f′（1）=ln1+1=1，
∴所求切线方程为y-0=1×（x-1），即x-y-1=0；
（2）∵f′（x）=lnx+1，x＞0，
解f′（x）=0得：x=

1

e

，
当x∈（0，

1

e

）时，f′（x）＜0；
当x∈（

1

e

，+∞）时，f′（x）＞0；
∴函数f（x）=x•lnx的单调递增区间为（

1

e

，+∞），单调减区间为（0，

1

e

）．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，属于中档题．