Question

一个正三棱锥的四个顶点都在半径为R的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，且该正三棱锥的体积是，则球的体积为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：根据正三棱锥的四个顶点都在球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，球的半径，就是三棱锥的高，再求底面面积，即可求解三棱锥的体积的解析式，从而求出球半径，最后利用球的体积公式计算即得．
解答：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，
其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，
设球的半径为R，所以底面三角形的边长为a，×a=R，a=R，
该正三棱锥的体积：××（R）²×R=，
∴R=1，
则球的体积为．
故选B．
点评：本题考查棱锥的体积，棱锥的外接球的问题，考查空间想象能力，是基础题．