Question

一个正三棱锥的四个顶点都在半径为R的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，且该正三棱锥的体积是

3

4

，则球的体积为（　　）

• A．

  1

  3

  π
• B．

  4

  3

  π
• C．

  32

  3

  π
• D．

  1

  6

  π

Answer 1

分析：根据正三棱锥的四个顶点都在球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，球的半径，就是三棱锥的高，再求底面面积，即可求解三棱锥的体积的解析式，从而求出球半径，最后利用球的体积公式计算即得．

解答：解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，
其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，
设球的半径为R，所以底面三角形的边长为a，

2

3

×

3

2

a=R，a=

3

R，
该正三棱锥的体积：

1

3

×

3

4

×（

3

R）²×R=

3

4

，
∴R=1，
则球的体积为

4

3

π．
故选B．

点评：本题考查棱锥的体积，棱锥的外接球的问题，考查空间想象能力，是基础题．