Question

【题目】如图所示，在底面为正方形的四棱柱中， .

（1）证明：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：

（1）连交于,由条件可得，又由得到 ，从而可得平面．由四边形为平行四边形可得，所以平面，因此平面平面．（2）由条件可得两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的法向量，根据两向量的夹角的余弦值可求得线面角的正弦值．

试题解析：

（1）证明：连交于，则为中点，

∵，

∴．

∵, 为公共边，

∴，

∴．

又， ，

∴平面．

由题意得，故四边形为平行四边形．

∴，

∴平面，

又平面内，

∴ 平面平面．

（2）由题意得两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

∵，

∴为等边三角形，

∴．

又，

∴．

则．

∴， ，

．

设平面的一个法向量为，

由可得 ，

令，则 ．

设与平面所成角为，

则．

所以直线与平面所成角的正弦值为．