Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 （

2

a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B的大小； 
（2）若b=

6

，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理，将题中等式的边化成角的正弦的形式，进而利用两角和的正弦公式与诱导公式，化简整理求得cosB的值，可得角B的大小； 
（2）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，结合题意算出a²+c²-

2

ac=6，利用基本不等式求得ac的最大值，代入△ABC的面积公式加以计算，可得△ABC面积的最大值．

解答：解：（1）∵（

2

a-c）cosB=bcosC，
∴由正弦定理，得（

2

sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
可得

2

sinA•cosB-sinC•cosB=sinBcosC，
化简得

2

sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC，
∵sinC•cosB+sinBcosC=sin（B+C），
∴

2

sinA•cosB=sin（B+C）．
∵在△ABC中，sin（B+C）=sin（π-A）=sinA＞0，
∴

2

sinA•cosB=sinA，解得cosB=

2

2

，
结合B∈（0，π），可得B=

π

4

；
（2）若b=

6

，根据余弦定理得a²+c²-2ac•cos

π

4

=6，
化简a²+c²-

2

ac=6
又∵a²+c²-

2

ac≥2ac-

2

ac=（2-

2

）ac，
∴（2-

2

）ac≤6，
解得ac≤

6

2- 2

=3（2+

2

）．
当且仅当a=c时，ac有最大值3（2+

2

）
∵△ABC的面积S=

1

2

ac•sinB=

2

4

ac≤

2

4

•3（2+

2

）=

3( 2 +1)

2

，
∴当且仅当a=c=

6+3 2

时，△ABC面积有最大值，最大值等于

3( 2 +1)

2

．

点评：本题给出三角形的边角关系，求B的大小并讨论三角形面积的最大值，着重考查了正弦定理的运用、两角和与差的三角函数公式、诱导公式和基本不等式的应用，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．