Question

已知椭圆C₁的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C₂的顶点在原点、焦点在x轴上．小明从曲线C₁，C₂上各取若干个点（每条曲线上至少取两个点），并记录其坐标（x，y）．由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C₁上，也不在抛物线C₂上．小明的记录如下：

x	-2			2		3
y	2

据此，可推断椭圆C₁的方程为    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意可知：点是椭圆C₁的短轴的一个端点，或点是椭圆C₁的长轴的一个端点．分此两种情况讨论：再假设抛物线C₂的方程为y²=2px或y²=-2px验证即可．
解答：解：由题意可知：点是椭圆C₁的短轴的一个端点，或点是椭圆C₁的长轴的一个端点．以下分两种情况讨论：
①假设点是椭圆C₁的短轴的一个端点，则C₁可以写成，经验证可得：若点在C₁上，代入求得a²=12，即，剩下的4个点中（-2，2）也在此椭圆上．
假设抛物线C₂的方程为y²=2px，把点代入求得p=2，∴y²=4x，则点，则只剩下一个点既不在椭圆上，也不在抛物线上，满足条件．
假设抛物线C₂的方程为y²=-2px，经验证不符合题意．
②假设点是椭圆C₁的长轴的一个端点，则C₁可以写成，经验证不满足条件，应舍去．
综上可知：可推断椭圆C₁的方程为．
故答案为．
点评：熟练掌握椭圆、抛物线的标准方程及其性质和分类讨论的思想方法是解题的关键．